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一些数学家同事以为我交了狐朋狗友，这些狐朋狗友不仅让我的理论推导变得马虎起来，还玷污了数学的纯洁性。
—— 迈克尔·阿蒂亚，在80岁生日庆祝会上的讲话，2009
撰文 | 格雷厄姆·法梅洛
阿蒂亚
1976年春天，我平生第一次见到一位纯数学家给一群物理学家做讲座。当主持人像先容外星人一样先容他时，我不禁以为有些可笑。这次讲座的主讲人便是当代几何学宗师迈克尔·阿蒂亚，他因对柏拉图天下天马行空式的探索为人们所熟知。他的讲座主题是关于规范理论方面的内容，但我对那次讲座已经没什么印象了，只记得阿蒂亚兴趣勃勃的样子以及那些难得像天书一样的数学方法。虽然他当时演讲的主题都是在座听众熟习的理论，但险些没有人明白他在讲什么。
不过，我倒是捉住了一个主要信息，那便是：一位当世顶尖的数学家正把自己的紧张精力投入到许多物理学家以为自己已经研究透彻了的理论中。几个月后，我才溘然察觉，阿蒂亚和他的互助者们正在开辟一条全新的数学之路。不仅数学家对这条路产生了浓厚的兴趣，物理学家也同样如此。
虽然现在想来真的颇为羞愧，但我还是得承认，我当时认为——乃至是希望——数学和物理学之间的这种交叉只是出于学术兴趣，只能成为这两门学科历史中的注脚。然而，不到两年，我就意识到自己是多么屈曲。事实证明，规范理论和纯数学之间的共同土壤不但频年夜多数人预想的更加肥沃，而且还在迅速扩展。在这片地皮上耕耘的不仅有数十位顶尖数学家，还有几位压倒一切的理论物理学家，个中还包括一位即将引领这个领域数十年的大师。我们将在本章中看到，当时参与这项跨学科研究的专家虽然不多，但他们对数学和物理学这两门学科都做出了巨大贡献。也正是他们，闭幕了数学和物理之间的漫长离异状态。
2014年，在我第一次与迈克尔·阿蒂亚面对面互换的前几分钟，我就明白了为什么他能让这么多数学家把研究重心转向物理学理论。要想给一门学科带来如此剧烈的改变，领导者的聪慧必须得到所有同寅的认可。阿蒂亚显然做到了这点，他在诸多数学领域都做出了打破性的贡献。不过，成为精彩开拓者所需的品质远远不止这些，尤其还须要高度的积极性和高超的口才，这两点阿蒂亚也都具备。阿蒂亚一点儿也不像是人们刻板印象中的数学研究者。他总是衣着时髦，乐不雅观积极（乃至还很会开玩笑），时常揭橥针对自己研究领域的大胆不雅观点——在部分同行看来，他的这些不雅观点不太成熟、不合时宜，根本不应该说出口。“朋友对我说，我太想引发人们对狂野想法的激情亲切了。”阿蒂亚一边开怀大笑一边这样对我说。
阿蒂亚很喜好评论辩论数学史以及他自己走向数学前沿的心途经程。在我们2014年的那场对话中，阿蒂亚年夜方冲动大方地表示，他永久不会在数学之路上停歇，哪怕到生命的末了一刻。他说这番话时的样子，就像一位友好但非常健谈的军事演习官。我想，这种人格特质或许起源于他从前的部队生活。阿蒂亚在第二次天下大战结束后不久参军服役，他后来称这段韶光为“平凡的军旅生涯”。1949年，阿蒂亚在服完兵役后，前往剑桥大学三一学院求学，开启了他的数学生涯。他的母亲出生于苏格兰，父亲则是黎巴嫩人，他们一贯以为，阿蒂亚便是为数学而生的。
阿蒂亚在本科时上了狄拉克主讲的量子力学课，还选修了一些其他物理学课程，但他最喜好做的还是数学研究。数学对他来说，就像呼吸一样自然。阿蒂亚还意识到，他对几何的兴趣要比代数大得多——处理以可视化现实为根本且与空间干系的观点时，他得心应手；处理抽象的x和y时，就没有那么轻松愉快了。那个时候，越来越多的当代物理学理论以几何数学为框架，因此，阿蒂亚的根本很适宜他为当代物理学做贡献。
在阿蒂亚成为他自称的“准物理学家”将近40年后，他仍旧记得（带着些许困惑）“二战”后纯数学家和理论物理学家之间长达数十年的隔阂。他把这两个领域的学者比作在隧道两头事情的工人，谁都不知道隧道另一头在干什么。“隧道挖通的那一天，双方都惊奇不已，”阿蒂亚如是说，“两段隧道之间的衔接是那样幽美，就彷佛是天才的土木工程师设计的一样。”
阿蒂亚说的并不是20世纪70年代初的所有数学家和理论物理学家，而只是几何学家和规范理论物理学家。虽然研究角度不同，但他们创造双方的确是在同一领域内事情。当时，理论物理学家正在研究支配原子天下的基本力，而数学家的兴趣则在高档的拓扑学形式。拓扑学这门学科很适宜研究描述原子内部四处呈现的各种量子粒子的场的各种可能的形状和构造。规范理论和当代几何学不仅彼此相容，还可以相互促进。规范理论方面的研究得出了深刻的几何学新洞见，而几何学领域的一些最新创造也供应了研究规范理论的新视角——再多的实验数据都供应不了这样的视角。
赫尔曼·外尔
近当代所有促进了物理和数学间联系的思想家中，最有创造力确当属规范理论的先驱赫尔曼·外尔。他也是阿蒂亚最欣赏的20世纪数学家，哪怕两人从未谋面。阿蒂亚和外尔两人对数学的意见有诸多相似之处，尤其是，他们都认为数学该当努力成为一个整体，而不是一门在各自领域独立为战的学科；数学家则该当看重提出富有创造力的想法，而不是为了严谨而止步不前。同外尔一样，阿蒂亚也认为做数学研究的最好方法不止一种：“数学家的类型有很多，他们都是不可或缺的。” 他们两人也都认为，数学家应该同其他领域的专家多互换不雅观点，尤其是物理学家。
阿蒂亚在20岁的时候曾前往法国南部，出席了布尔巴基学派的一次会议。会上，他亲眼见证了有关会议日程细节的数次辩论。不过，这种不合从未失落控，阿蒂亚回顾说：夏日的阳光和友好的氛围“在预防口头不合演化成武装械斗方面起到了很好的浸染”。虽然阿蒂亚看到了布尔巴基学派成果的代价，但他不想被这个团体的条条框框束缚。相反，他像外尔一样伸开了双翼，在数学的许多领域都颇有建树，并且成为个中一门学科最有影响力的天才。
外尔对理论物理学所做的贡献紧张产生于职业生涯初期，而阿蒂亚在对现实天下产生兴趣的20年之前就已经是颇有名望的数学家了。“并不是我改变了研究领域，转行去研究物理学，”他说，“而是，物理学在20世纪70年代中期进入了我的研究方向。” 当时的数学界兴起了一场运动：一些顶尖数学才俊大胆地走出舒适区，将自己的专长运用于科学领域，并且鼓励学生以更开阔的思路做自己的学问。阿蒂亚正是这场运动的一分子。这些勇于冒险的顶尖思想者中，还有美国数学家凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）。她到现在还记得当时迫不及待想用纯数学家的“开阔新思路”大干一番的心情。这种潮流开始于20世纪60年代末。“我们是这股新潮流的一部分，喜好不雅观察数学之外的天下，并且很乐意与物理学家、天文学家，乃至经济学家互助研究。”
凯伦·乌伦贝克
“当时，布尔巴基学派的影响力正在迅速减弱。”乌伦贝克说。那些反对这个学派的有名人士的声音越来越大——既然布尔巴基对那些显然主要的数学分支，如几何学、概率论、逻辑学，都没有什么精彩贡献，那为什么还要如此看重他们呢？如布尔巴基学派最有名的前成员亚历山大·格罗滕迪克所说，当时，这位拿破仑时期将军的名字不仅成了精英主义和教条主义的同义词，还意味着这个组织正在“阉割反自发性”（格罗滕迪克语）。虽然布尔巴基学派还没有咽下末了一口气，但它的半只脚已经踏进了宅兆。
布尔巴基学派
新一代数学家对布尔巴基的紧身衣毫无兴趣，他们发展了大量新的数学理论，并且热衷于探索它们在现实天下中的运用。个中一个例子是“混沌理论”的快速发展。这个理论研究那些后期发展结果对初始状态十分敏感的系统。如今，最为人们熟知的数学混沌便是所谓的“蝴蝶效应”——蝴蝶扇动几下翅膀就能影响几天后千里之外某处的景象。这个例子背后的数学观点为我们看待现实天下供应了新洞见：从动物种群的蜕变，到土星卫星的稳定性；从打算机代码加密，到股票市场颠簸。
乌伦贝克说，数位无可争议的天下顶级数学家欣然与其他学科的专家互助，这让“满怀壮志的年轻数学家大胆进入粒子物理学领域成了一种颇受爱崇，乃至有些时髦的行为”。乌伦贝克回顾说，在20世纪70年代初的加州大学伯克利分校，纯数学和理论物理学之间的漫长“离异”状态即将闭幕。她看到，虽然许多传统数学家仍对这种跨学科互助嗤之以鼻，但后来，物理与数学的成功互助证明持疑惑态度者“彻底错了”。乌伦贝克牢牢记住从这段经历中学到的深刻教训：“数学研究者须要物理学家的想法。你乃至可以说，没了他们，我们没法开展事情。”
阿蒂亚在20世纪70年代中期把目光投向了物理学。当时他46岁，在牛津大学安顿了下来，已然是一位顶尖数学家，并且正朝着英国顶级学术人物的圈子稳步迈进。阿蒂亚为数学做出了许多颇有影响力的贡献。宽泛地说，这些贡献紧张集中于几何学领域。他还常常和那个时期的顶尖数学家互助。按照弗里曼·戴森对物理学家和数学家的“鸟与田鸡”分类法，阿蒂亚便是一只范例的鸟儿，在各个数学领域中奔跑，不断探求各分支间的联系。
大约就在此时，亚原子物理学规范理论的成功捉住了阿蒂亚的眼球。标准模型能完美地阐明高能粒子加速器得出的险些所有实验数据，但阿蒂亚对此并没有太多兴趣。令他着迷的是构成标准模型根本的规范理论的数学构造。他清楚地看到，物理学家只是初步节制了这些数学框架，而数学家可以帮助他们深耕下去。30年前，戴森捕捉到了一个数学家帮助物理学家办理量子电动力学难题的机会。30年后，阿蒂亚自傲地认为如果他进入规范理论领域，一定能和戴森一样大得胜利。
阿蒂亚至今仍清晰地记得第一次对规范理论“爱慕”的时候，那是1976年的秋日，他在马萨诸塞州剑桥市拜访数学家同行期间，意外地接到了麻省理工学院理论物理学家罗曼·贾基夫（Roman Jackiw）的乞助电话。当时有几个严厉的问题不断困扰着规范理论，个中一个问题是：物理学家无法预测某些发生强相互浸染的粒子的寿命，包括质子的亲戚、物理学家熟知的不带电介子。贾基夫便是研究这个问题的威信。人们在1948岁首年月次创造了这些不带电介子，它们的寿命不长——每个不带电介子出身后，常日只能“存活”一亿分之一秒，之后就会衰变成两个光子。
长期以来，理论物理学家一贯在研究介子的这类性子，而规范理论并没有给出这个问题的答案。贾基夫和其他理论物理学家——包括著名的约翰·贝尔（John Bell）和史蒂夫·阿德勒（Steve Adler）——之前就已经意识到，这个问题的根源在于经典力学和量子力学之间的根本差异。举例来说，描述网球运动的方程的一些对称性并不适用于描述亚原子粒子方程。如果规范理论真像理论物理学家说的那么好，那么它就必须能阐明这些“量子反常征象”，即令人大惑不解的不带电介子衰变行为。贾基夫在寻思熟虑后认为，要想彻底弄清楚这个问题，就须要数学家的帮忙。于是，有一天，他溘然拜访了麻省理工学院数学系——它与物理系只隔着一扇上了锁的门。
贾基夫在数学系走廊里待了几个小时，希望能勾起数学家对这个问题的兴趣，但所有人都只是出于礼貌而表达了些许“兴趣”。不过，贾基夫立时就转运了。数学物理学家杰弗里·戈德斯通（Jeffrey Goldstone）见告他，“伟大的阿蒂亚”就在剑桥市，或容许以帮上忙。一听这个，贾基夫急速为之一振，他早就以为阿蒂亚和伊萨多·辛格（Isadore Singer）在1963年（大约就在披头士乐队发布第一张密纹唱片前后）揭橥的理论或容许以办理这类量子反常征象。这个理论在此前彷佛毫无关联的两个数学分支（拓扑学和微积分）之间建立起了一种完备意想不到的联系。因此，贾基夫约请阿蒂亚向一些具备数学思维的理论物理学家（包括他自己）做个报告，讲讲这个理论及其在亚核粒子领域可能的运用。
几天后，满面东风的阿蒂亚走进了贾基夫宽敞的办公室。办公室内座无虚席，坐满了渴望聆听“神谕”的年轻理论物理学家，书架上则摆满了书、纸和中美洲手工艺术品。在礼节性的先容之后，阿蒂亚开始了大约2小时的讲课，时而停下来在黑板上写写画画，时而回答听众的问题。“这正是我们渴望的那种清晰的讲述。”贾基夫回顾说，讲课后来很快发展成了一场气氛生动的对话。现场的物理学家们偶尔会插话，讯问阿蒂亚–辛格定理能与原子核中的量子场形成何种联系，而阿蒂亚则以他一向武断的态度予以回答，显然，他已经对这个物理学问题产生了兴趣。很明显，这个理论适宜处理量子反常问题，并且很可能能够产生实验学家可以验证的预测。果真，几个月后，几位理论物理学家就证明，利用阿蒂亚–辛格定理剖析电中性介子量子场的方程就能理解“量子反常问题”。很快，粒子物理学家都获知：自己研究领域内的一大棘手问题——“量子反常征象”，可以用他们中的大多数人从没听说过的当代数学方法办理。而阿蒂亚本人也很高兴自己和辛格创造的这个定理在亚原子粒子研究领域如此有用。许多物理学家则惊叹，自己研究领域内如此艰深的一大难题竟然可以被联系了拓扑学和微积分的数学定理如此轻易地办理。
阿蒂亚后来见告我，他在和辛格发展这个定理的时候，“从没想过我们的数学成果会和现实天下产生联系”。他还遗憾地补充说，他俩在研究这个定理时，发生了一些奇怪的事：在全体抽象几何推演过程中——这个过程和现实天下毫无干系——溘然跳出了狄拉克方程中描述电子状态的数学算子。“我们当时只以为这是巧合，”阿蒂亚说，“结果却失落去了一个做出重大物理学创造的良机。”
爱德华·威滕
事实证明，贾基夫办公室内的这场聚会对那个时期的数学和物理学都意义重大。在聆听阿蒂亚讲课的理论物理学家中，就包括年轻的爱德华·威滕（Edward Witten）。当时的他虽然年纪只有阿蒂亚的一半旁边，却注定要成为一代数学物理学宗师。阿蒂亚还记得威滕非凡的仪态：6英尺（约1.83米）高，背挺得直直的，自傲但说话柔声细语，声音腔调则要比他这个体格应有的高近一个八度。40年后，阿蒂亚跟我提及威滕在这次聚会上给他留下的第一印象：“显然，他比在座的其他所有物理学家都更清楚当时的状况。他的思维快得惊人，对当代数学思想的节制也非常稳定，并且还一贯在探求将这些思想利用于物理学的方法。”
和50年前的狄拉克一样，威滕走向理论物理学生涯的道路也分歧凡响——他也是直到研究生才转行进入物理学领域。受到父亲（引力理论方面的威信）的影响与鼓励，威滕从小就喜好天文、物理和数学。起初，年轻的威滕并不想沿着父亲的足迹进入理论物理学领域。相反，他在本科生阶段学起了历史和当代措辞，并且为乔治·麦戈文并不交运的总统竞选事情了一年，随后又开始了经济学研究生课程，但只过了一个学期就放弃了。直到那时，25岁旁边的威滕才开始在大学里学习科学。
一开始，他并不愿定究竟要学物理还是数学，但他对亚原子粒子的奇特性子很感兴趣，这让他决定专攻理论物理学领域。只管当时的威滕连本科生的科学水平都没达到，普林斯顿大学还是把他招进了竞争非常激烈的研究生课程。事实证明，这些课程对威滕来说是小菜一碟，他在1976年顺利毕业。之后，威滕前往哈佛大学担当低级研究员，与两位精彩的理论粒子物理学家史蒂文·温伯格和谢尔登·格拉肖共事。这两位专家总结亚原子粒子实验新数据并得出新想法的专业水平令威滕印象深刻。此外，威滕还和理论物理学家悉尼·科尔曼（Sydney Coleman）走得很近，而后者对如何将当代数学运用于根本物理学很感兴趣。威滕显然受到了这种兴趣的传染，不到一年，有关他非凡才能的故事就在环球理论物理学界传得沸沸扬扬了。阿蒂亚评论说：“威滕这类思想家不但能影响一门学科的景象。他能改变全体学科的景象。”
杨振宁
到了20世纪70年代中叶，全天下的物理学家和数学家都把稳到了规范理论和几何学之间的联系。第一个看到这种联系的便是当代规范理论的创造者之一——杨振宁。他已于1966年离开了普林斯顿高档研究院。当时43岁的杨振宁作为一名华人物理学家，在长岛北岸的纽约州立大学石溪分校任教。约请他的是该校数学系年夜志勃勃的新领导、青年拓扑学家吉姆·西蒙斯（Jim Simons）。他俩很快就熟络了起来，并且相处愉快，还为反对美国参与越南战役在校园里筹集了破记录的资金。他们的下一次互助更加成功。这次互助的出发点是，西蒙斯见告杨振宁，规范理论方程组的形式和爱因斯坦的引力理论彷佛都表明，它们与拓扑学的一个名叫“纤维丛”的分支有关——当时的杨振宁对这个术语一无所知。西蒙斯推举杨振宁阅读这个领域的标准入门著作——普林斯顿数学家诺曼·斯廷罗德（Norman Steenrod）撰写的《纤维丛拓扑学》。杨振宁创造这本书他根本读不懂，但他也没有放弃，转而要求西蒙斯花上几天的午饭韶光在物理系从基本事理开始给他好好上上这门拓扑学课。经由这次突击培训，杨振宁终于节制了这个数学思想，并且在20世纪70年代中叶得出结论：规范理论的最佳表述措辞是拓扑学。
几个月后，杨振宁和他的朋友、哈佛大学理论物理学家吴大峻做出了一个具有首创意义的创造。他们找出了规范理论中数个核心观点与当代拓扑学对应观点之间的联系。这个创造后来形成了著名的“吴–杨字典”。有了这个字典，物理学家和拓扑学家就能互相交流各清闲这个领域的事情成果，并朝着对规范理论物理和数学的统一理解不断迈进。虽然只有专家才能读懂这本字典中的条款，但这两门学科的核心观点间存在逐一对应关系这一事实本身就对所有物理学家和数学家颇有助益。数学家可以利用他们的数学直觉研究规范理论，而物理学家也可以利用他们的物理直觉研究拓扑学。
这个创造是纯数学家和理论物理学家的研究领域之间的联系日益紧密的又一大例证。杨振宁本来是位完完备全的物理学家，一贯坚持明确区分数学和物理学：数学处理的是柏拉图天下中的抽象观点，而物理学研究的则是对现实天下的定量丈量结果，如仪表盘、计时器等实验仪器上的读数。不过，随着杨振宁对数学和理论物理学关系的认识逐渐加深，他对数学的兴趣也越来越大。杨振宁知道，第一个建立数学场论的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦早在一个世纪前就已经预见，要想对场论有更深刻的认识，除了对运动的描述之外，还必须利用“几何学思想”。杨振宁还知道，狄拉克在1931年建立磁单极子理论的时候就率先在量子力学中利用了这种对物理学家来说全新的几何学思想。然而，吉姆·西蒙斯的一番评论让杨振宁大吃一惊：狄拉克在提出这些想法的时候，实在也创造了拓扑学的一大关键定理。实际上，狄拉克利用的这个根本拓扑学定理，在整整20年后，才被国际顶尖数学家陈省身正式创造。陈省身之前在中国给学生时期的杨振宁上过课，后来移民去了美国，在加州大学伯克利分校安顿了下来，并且成了一位数学“大人物”（阿蒂亚对他的评价）。虽然陈省身的学术论文不算大略易懂，但许多数学家都很欣赏他的博学、威信与诙谐。
陈省身
自20世纪50年代开始，杨振宁和陈省身就会不定期地碰面，但他们从来没有深入互换。1975年，杨振宁以为是时候纠正缺点了，就驱车前往位于旧金山湾东岸的陈省身家中，畅聊了几个小时。发言开始后没多久，话题就转向了数学与物理学之间的关系。杨振宁评论说，他惊奇地创造，有关亚原子力的规范理论竟然可以用陈省身等人“凭空”想象出来的数学措辞书写出来。然而，陈省身断然否定了这种说法。“不，不是这样。这些观点并不是凭空想象出来的，”他抗议道，“它们是本就存在于自然天下的真实之物。”
话毕，杨振宁呆若木鸡。对付他这样的物理学家来说，现实这两个字在实质上代表着物质天下——履历是真理的唯一来源。然而，陈省身现在却流传宣传，抽象的数学也同样真实。
在阿蒂亚给贾基夫办公室的麻省理工学院物理学家讲完课后不久，贾基夫就问他：“你以为数学和物理之间的这段新恋情会是一晌贪欢，还是久长久长？” 阿蒂亚当时的回答模棱两可。不过，等到他于1977年年初回到位于牛津数学研究所的家中时，阿蒂亚已经满怀乐不雅观，并且决心开始研讨规范理论涉及的数学。几个月后，爱德华·威滕开始了他对牛津数学研究所的长期访问，还有其他理论物理学家也加入了同数学家的对话。数学家和理论物理学家终于挖通了这条隧道。
当时，阿蒂亚刚接管了当代引力理论先驱、扭量理论提出者罗杰·彭罗斯的约请，成了牛津大学数学系的一员。大约就在此时，阿蒂亚的密友和互助者伊萨多·辛格也在牛津大学数学系开始了学术休假，并从纽约州立大学石溪分校带来了杨振宁将规范理论和拓扑学联系起来的新创造。辛格就这个问题在牛津大学做了一系列讲座，吸引了许多听众。讲座的主题从“吴–杨字典”开始，阿蒂亚后来称这场讲座为“一个主要时候”。此后的数周，全体数学系都在谈论瞬子，也便是当代规范理论预言的亚核事宜。阿蒂亚和其他几位数学家拿出了几何学方面的看家本领，乃至还利用了一些新方法，只为研究物理学家赫拉德·特霍夫特和萨沙·波利亚科夫提出的理论。很快，他们就明白了瞬子有不同种类，并且可以用拓扑工具分类，而阿蒂亚–辛格定理则在个中发挥了至关主要的浸染。
阿蒂亚把研究重心转移到规范理论上后不久，就感想熏染到了文化改变带来的冲击。在此前的几十年中，阿蒂亚已逐渐习气了数学界持重严谨、寻思熟虑的生活节奏，但物理学研究令人窒息的节奏令他第一次感想熏染到了紧张和焦虑。在物理学研究中，一篇以不成熟想法为主题的亮眼文章也会激起持续几个月的热烈谈论，并带来许多看似出息光明但终极不明晰之的推论。阿蒂亚在和互助者完成了第一个项目后不久，就创造其他地方的理论物理学家也得出了险些千篇一律的结论，只不过后者利用的数学手段比较少。在物理研究圈内，这样的事情弗成偻指算。
1977年春天，纯数学和理论物理学之间的这段新恋情已经全面着花。在当年于华盛顿特区举办的美国物理学会的一次会议上，罗曼·贾基夫以规范理论涉及的数学内容为主题做了一个报告，并在结尾处约请伊萨多·辛格上台，为大家先容数学家的不雅观点。由于韶光有限，辛格决定不再多谈详细的技能细节，而是念了自己最近作的一首诗：
今岁今日
物理圣哲
笔耕不辍
时下
规范理论如日中天。
短视的数学家
马首是瞻
虽头脑聪慧
但定理
已刻上他人的痕迹
然规范理论生有缺陷
上帝踟蹰着
给他的物理学定律
拉上了帷幕
这或许注定是一场失落败之旅。
这首诗反响了部分数学家的担忧：规范理论或许不是一个完备可靠的思想来源。不过，就当时而言，这个理论对数学家有百利而无一害。
可以想见，阿蒂亚很快就成了这个新互助领域的“魔笛手”，鼓励所有来访者都试一试，加入这个数学和物理学交叉领域的创新者行列。第二年，也便是1978年，阿蒂亚在哈佛大学做了一系列讲座，重点先容他和互助者创造的发展磁单极子理论的新方法。“举办讲座的屋子里挤满了人。”戴维·莫里森（David Morrison）回顾说，他当时还只是个纯数学领域的研究生，对规范理论没有任何兴趣。不过，他以为“不应该放过聆听阿蒂亚讲座的机会”。听众中，数学家和物理学家大概各占一半，莫里森回顾道：“我之前从未听说过有什么场合能把这么多数学家和物理学家聚到一起。”而主讲人阿蒂亚也没有令到场的不雅观众失落望：“他的讲座引人入胜，让在场的许多物理学家确信，这是一个非常值得进入的学术领域。”
不过，也有许多理论物理学家心存疑问。例如，爱德华·威滕后来就说，他不相信数学家能研究清楚他感兴趣的物理学问题。然而，在数学家取得了一系列令人眼花缭乱的有关空间性子的理论造诣（阿蒂亚说，“这些造诣震荡了全体数学天下”）后，理论物理学界也改变了意见。创造这些理论的正是师从阿蒂亚的一名腼腆的二年级研究生——西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）。他当时正默默研究规范理论除了能给物理学供应灵感以外，是否也能成为数学的思想源泉。1982年，他证明了这个问题的答案是肯定的，并且发掘了大量能对部分数学分支产生革命性影响的新思想。“我之前就知道唐纳森聪慧过人，”阿蒂亚对我说，“但他的造诣还是令我难以置信。”
连唐纳森本人都被自己的成功吓了一跳，看着令人惊喜的创造不断呈现，他险些无法相信自己的眼睛。“我猜想，这样的研究可谓千载难逢。”作为数学家，唐纳森利用规范理论方程组的办法与大多数物理学家预想的大相径庭。他解这个方程组的目的并不是研究场论，而是研究场在四维空间中的性子。唐纳森对我说，他一开始并没有想这么做，只是在研究的过程中才溘然冒出了这个想法：“在和同事谈论之后，我才意识到这个方法原来如此有用。” 经由大约一年艰辛但令人振奋的事情，唐纳森终于把自己的预感变成了牢不可破的定理。
唐纳森创造，描述瞬子的规范理论方程组解表明，四维时空拥有一些分外性子，也便是我们现在熟知的不变性。这些性子相称有用，由于它们能以数学家此前从没见过（乃至从未想过）的办法区分各种四维空间。这个技巧还让唐纳森创造了一种只在四维存在的新空间。按照阿蒂亚的说法，唐纳森提交他的第一批成果时，这些想法“对几何学家和拓扑学家来说实在太过新鲜和陌生，他们只能以带着钦佩而困惑的表情呆呆地望着唐纳森”。唐纳森在描述物理学家认为发生在原子核内部深处的瞬子事宜的过程中，也打开了柏拉图式数学思想天下的新视野，并且对数学产生了巨大影响，虽然物理学家们很少把稳到这点。
杨–米尔斯理论起初是作为麦克斯韦电磁理论的一样平常化理论而发展起来的，而唐纳森利用这个理论成功地研究了空间的实质。电磁方程组的数学形式看上去与时空本身具有四维这个不雅观测事实有关。唐纳森认为，这种联系表明“个中存在一些我们尚不理解但更为根本的性子”。
几十年前，狄拉克就已经预见到了这类观点上的联系。他一贯督匆匆数学家要特殊关注四维空间，由于我们所处的时空便是四维的：从某种意义上说，这是大自然在提示数学家，这类空间很主要。狄拉克还在1933年题为“数学与物理学的关系”的斯科特讲座中提到了这点：“未来的发展很有可能表明……四维空间要比其他任何空间都主要得多。”不过，狄拉克第一次提出这个想法是在亨利·贝克的一次茶话会上，当时他还只是个研究生。我在采访唐纳森时——距他开始在这个领域耕耘的那天已经由去了35年——递给他一本记载狄拉克当年发言内容的影印本。唐纳森表示自己此前从不知道此事，摇着头评论说：“不可思议。”
数学与物理学的关系在20世纪70年代发生的转变令险些所有专家都感到惊异，包括弗里曼·戴森。前文提到，他在1972年的那次讲座中表达了对数学与物理的离异感到遗憾，也为这两门学科因此而错过的相互促进的机遇感到可惜。7年后，他的态度转变了。在1979年7月普林斯顿高档研究院为庆祝爱因斯坦100周年诞辰而举办的一次会议上，戴森试着猜想了数学与物理学的未来。这次会议云集了许多数学及物理学大师，如迈克尔·阿蒂亚、陈省身、史蒂芬·霍金、罗杰·彭罗斯、史蒂文·温伯格和杨振宁。他们一同涌如今了会议的闭幕式上，而研究院院长则宣读了当时美国总统吉米·卡特的贺信。
弗里曼·戴森
与会者对宣读总统贺信之前的环节影象犹新，这是一场对物理学未来的热烈谈论。发言者之一便是持乐不雅观态度的戴森，他预言“（高档）数学与物理学之间的关联会日益紧密且坚实”。他还更进一步，再次提出了一个大胆的预言：“我预测，在未来25年内，我们就能看到物理学统一理论——广义相对论、群论（有关对称性）以及场论以纯数学为纽带紧密结合在一起。”
戴森还小心翼翼地给这个大胆预言加上了一个附加条件。“用过去的履历推断未来永久不是明智之举”，他补充说，提这点只是想“为后续谈论做铺垫”。戴森的这次预测是准确的——不到5年，物理学家就找到了与他描述的新物理学框架很相似的理论。我们立时就会看到，这些新理论为理论物理学家和纯数学家供应了更多机会，让他们相互促进、共同茁壮发展。
作者简介
格雷厄姆·法梅洛，英国理论物理学家、有名传记作家和科普作家，伦敦自然博物馆资深研究员，剑桥大学丘吉尔学院院士，美国东北大学兼职物理教授。作品《量子怪杰：保罗·狄拉克传》获2009年科斯塔传记奖、《洛杉矶时报》科技图书奖、《理论物理》年度图书奖，以及《自然》年度图书奖。
本文经授权转载自微信公众年夜众号“和乐数学”。本文选自《物理天下的数学奇迹》第7章“全新的数学之路”。
